Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий 13
§1. Вероятностное пространство 13
§2. Классическая схема 15
§3. Схема Бернулли 18
§4. Вероятность объединения событий. Примеры 20
Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий 23
§1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство 23
§2. Свойства вероятности 29
§3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний 30
§4. Формула полной вероятности и формула Байеса 32
Глава 3. Случайные величины и функции распределения 37
§1. Определения и примеры 37
§2. Свойства функций распределения и примереы 39
§3. Многомерные случайные величины 47
§4. Независимость случайных величин и классов событий 50
§5. О бесконечных последовательностях случайных величин 57
§6. Интегралы 57
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин 64
§1. Математическое ожидание 64
§2. Условные функции распределения и условные математические ожидания 68
§3. Математические ожидания функций независимых случайных величин 72
§4. Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего 76
§5. Дисперсия 76
§6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики 78
§7. Неравенства 80
§8. Обобщение понятия условного математического ожидания 82
§9. Условные распределения 89
Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами 96
§1. Законы больших чисел 96
§2. Локальная предельная теорема 97
§3. Теорема Муавра - Лапласа и её уточнения 102
§4. Теорема Пуассона и её уточнения 104
§5. Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли 111
Глава 6. О сходимости случайных величин и распределений 114
§1. Сходимость случайных величин 114
§2. Сходимость распределений 121
§3. Условия слабой сходимости 126
Глава 7. Характеристические функции 130
§1. Определение и свойства характеристических функций 130
§2. Формула обращения 135
§3. Теорема непрерывности (сходимости) 137
§4. Другой подход к доказательству теорем сходимости к известному распределению 138
§5. Применение характеристических функций в теореме Пуассона 141
§6. Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение 143
§7. Другие применения х.ф. Свойства гамма-распределения 146
§8. Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении 151
Глава 8. Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы 155
§1. Закон больших чисел 155
§2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин 156
§3. Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин 157
§4. Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин 163
§5. Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки погрешности 171
§6. Локальная предельная теорема 174
§7. Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае 177
§8. Вероятности больших уклонений 179
§9. Сходимость к други устойчивым законам 187
Глава 9. Элементы теории восстановления 195
§1. Процессы восстановления, функции восстановления 195
§2. Основная теорема восстановления решетчатом случае 199
§3. Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распредление в решетчатом случае 204
§4. Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в нерешетчатом случае 206
§5. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления 210
Глава 10. Последовательности независимых случайных величин. Свойсва траектории (0, S1, S2,...) в целом 213
§1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции 213
§2. Сходимость рядов независимых случайных величин 217
§3. Усиленный закон больших чисел 219
§4. Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых 223
Глава 11. Факторизационные тождества 225
§1. Факторизационные тождества и их первые следствия 225
§2. Факторизационные тождества. Свойства траектории (0, S1, S2,...) 230
§3. Распределение S = max(0,S) = maxSk 233
§4. Системы обслуживания 234
§5. Факторизационные тождества для распределений, связанных с показательной функцией 235
§6. Симметричные непрерывно распределенные случайные величины 237
§7. Тождество Поллачека-Спитцера 238
§8. Явные формулы для дискретных блужданий непрерывных сверху 240
Глава 12. Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова 245
§1. Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация Состояний 245
§2. Необходимые и достаточные условия возратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цеи, структура цепи в переодическом случае 249
§3. Теоремы о случайных блужданиях по решетке 252
§4. Эргодические теоремы 257
§5. Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей 264
§6. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичнось цепей, имеющих положительный атом 265
§7. Эргодичность харрисовых цепей Маркова 272
Глава 13. Информация и энтропия 284
§1. Определения, свойства информации и энтропии 284
§2. Определения конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, её приложения 288
Глава 14. Мартингалы 292
§1. Определения, простейшие свойства, примеры 292
§2. О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда 296
§3. Неравенства 308
§4. Теоремы сходимости 312
§5. Ограниченность моментов стохастических последовательностей 316
Глава 15. Стационарные (в узком смысле) последовательности 321
§1. Основные понятия 321
§2. Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости 325
§3. Эргодическая теорема 328
Глава 16. Стохастически рекурсивные последовательности 332
§1. Основные понятия 332
§2. Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности 333
§3. Условия эргодичности, связанные с монотонностью f 339
§4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица 340
Глава 17. Случайные процессы с непрерывным временем 347
§1. Общие определения 347
§2. Условия регулярности процессов 351
Глава 18. Процессы с независимыми приращениями 357
§1. Общие свойства 357
§2. Винеровские процессы, свойства траекторий 359
§3. Законы повторного логарифма 360
§4. Пуассоновские процессы 364
§5. Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями 367
Глава 19. Функциональные предельные теоремы 371
§1. Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности) 371
§2. Закон повторного логарифма 378
§3. Сходимость к пуассоновскому процессу 381
Глава 20. Марковские процессы 385
§1. Определения и общие свойства 385
§2. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры 388
§3. Ветвящиеся процессы 394
§4. Полумарковские и регенерирующие процессы 397
§5. Диффузионные процессы 404
Глава 21. Процессы с конечными моментами второгго порядка, гауссовские процесы 410
§1. Процессы с конечными моментами второго порядка 410
§2. Гуассовские процессы 413
§3. Задача о прогнозе 414
Приложения 417
Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры 419
Приложение 2. Интеграл по вероятностной мере 424
Приложение 3. Интегрирование 426
§1. Пространство с мерой 426
§2. Интеграл по вероятностной мере 427
§3. Дальнейшие свойства интегралов 430
§4. Интеграл по произвольной мере 434
§5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона - Никодима 437
§6. Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах 441
Приложение 4. Теоремы Хелли и Арцела - Асколи 447
Приложение 5. Доказательство теоремы Берри-Эссена 449
Приложение 6. Теоремы восстановления 453
Приложение 7. Таблицы 460
Справочник по математике И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева выдержал множество изданий.
Благодаря краткости изложения, полноте и удачному построению материала он прочно завоевал популярность не только в России, но и за рубежом.
Справочник предназначен студентам технических вузов, инженерам и всем, кто серьезно изучает математику.
Содержит около 450 задач, предлагавшихся на заключительных турах математических олимпиад СССР, начиная с самых первых.
Задачи размещены в хронологическом порядке и снабжены решениями.
Многие из них являются своеобразными математическими исследованиями, позволяющими читателям ознакомиться с идеями и методами современной математики.
Для школьников старших классов, учителей и руководителей математических кружков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Условия задач
Решения, указания, ответы
Тематический путеводитель
Задачи для тренировки
Список литературы
Список авторов задач
Список обозначений
_
