На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории средних величин (рис. 2.14):

* степенные средние;

* структурные средние.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую и средняя кубическая.

 

 

 

Рис. 2.14. Виды средних в статистике

 

Введём следующие условные обозначения:

 n – число вариант;

k - показатель степени.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий вид:

,                                                                                            (2.15)

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

.                                                                                         (2.16)

 

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени, различают следующие виды степенных средних:

 - средняя арифметическая, если k = 1;

- средняя гармоническая, если k = -1;

- средняя геометрическая, если k = 0;

- средняя квадратическая, если k = 2;

- средняя кубическая, если k = 3.

Формулы степенных средних приведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

 

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени k увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используется средняя арифметическая и средняя гармоническая взвешенные. Выбор вида степенной средней определяется экономическим содержанием задачи и наличием данных.

Рассмотрим среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Пример: Студент Петров по результатам учебного семестра имеет следую­щие оценки: теория бухгалтерского учета - 4, экономическая ста­тистика - 5, финансы, денежное обращение и кредит - 3, эконо­мика фирмы - 2. Какова его средняя оценка по результатам семестра?

Поскольку каждая оценка встречается один раз, для расчета средней применяем формулу арифметической простой:

Перечисленные дисциплины студент Петров сдал в среднем на 3,5 балла.

Пример: Имеются следующие данные о распределении бригад по уровню выработки продукции (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Бригады	Выработка продукции в среднем на одного человека, шт. (х)	Число рабочих, чел. (f)
1	110	12
2	120	10
3	130	14
4	140	8
Итого	-	44

 

Определим сменную выработку рабочего в среднем по четырём бригадам. Введём строку условных обозначений, приняв за х значения осредняемого признака, f - число рабочих с данным значением х.

Исходные данные представлены в виде дискретного ряда распре­деления; каждое х встречается несколько раз, следовательно, приме­няем формулу средней арифметической взвешенной:

В смену рабочий данных четырёх бригад изготавливает в среднем 124 единицы продукции.

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1)           закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближай­шим закрытым;

2)           за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

где х_н.г - значение нижней границы интервала («от»); х_в.г - значение верхней границы интервала («до»).

3) расчёт средней производится по средней арифметической взве­шенной.

Пример: Имеются данные о распределении рабочих цеха по стажу работы (табл. 2.11):

Таблица 2.11

Стаж работы, лет	Доля рабочих, % к итогу
До 5	10
5-10	44
10-15	30
15-20	10
20 и выше	6

Каков средний стаж работы рабочего данного цеха?

 

Строим расчётную таблицу, обозначив долю рабочих через f:

 

 

Закрываем открытый интервал «до 5». Ширина ближайшего закрытого интервала равна 5 годам (5-10), следовательно, наш интервал примет вид от 0 до 5. Аналогично открытый интервал «20 и выше» примет вид 20-25, поскольку ширина ближайшего закрытого (15-20) равна 5.

Находим середину каждого интервала и принимаем ее за значение х.

Исчисляем значения х*f и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной, заносим результаты в расчетную таблицу.

Определяем средний стаж рабочего:

Рабочий данного цеха отработал в среднем 10,4 года. Расчет сред­ней по интервальному ряду распределения дает приближенный ре­зультат за счет того, что за значения х берутся не точные данные, а осредненные значения (середины интервалов).

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Её чаще всего применяют для расчётов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака, т.е. w = xf.

Пример: Имеются данные о реализации продукта одного вида на трёх рынках города:

 

 

Следует определить среднюю цену, по которой продавался товар.

 

При расчёте средней цены на один и тот же товар, который продаётся в трёх разных торговых точках, необходимо выручку от реализации продукции поделить на количество реализованной продукции.

Предположим, что мы располагаем только данными о ценах на трёх рынках и количестве товара, проданного на каждом из них. При этом цены на отдельных рынках выступают в качестве вариантов, а количество проданного товара – в качестве весов. Тогда средняя цена определяется по средней арифметической взвешенной:

Теперь предположим, что количество проданного товара неизвестно, а известны лишь цены и выручка от продажи. В этом случае логические рассуждения остаются теми же, но расчёт следует записать в форме средней гармонической взвешенной:

Результат, как и следовало ожидать, получился тот же.

Пример: допустим, в результате проверки двух партий муки потребителям установлено, что в первой партии муки высшего сорта было 3942кг., что составляет 70,4 % общего веса муки всей партии. Во второй партии муки высшего сорта было 6520кг., что составляет 78,6 % общего веса муки этой партии.

Необходимо определить средний процент муки высшего сорта по первой и второй партиям вместе.