|
Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от -¥ до +¥ годограф разомкнутой системы W(jw) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jw).
Примечания:
- Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jw) не должен охватить точку (-1, j0).
- Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
- Годограф W(jw) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jw) к ¥ (при w®0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.
Док-во:
1. Рассмотрим ПФ для статической САР сдвинутую на величину (-1, j0):
W1(s) = 1+ W(s) = Q(s)/Q(s) + R(s)/Q(s) = D(s)/Q(s) ,
в ней D(s) - характеристический полином, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).
Рассмотрим угол поворота годографа W1(s). Он равен j = j1(D(jw)) - j2(Q(jw)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W1(s) равны. Следовательно при изменении w от -¥ до +¥: j1(D(jw))=np - (по критерию Михайлова),j2(Q(jw))=np - (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). Т.е. j=np-np=0. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии W1(jw) не должна охватывать начала координат, а функция W(jw) - точку (-1, j0).
2. Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости, то угол поворота годографа W(jw) должен составить величину:
j = j1(D(jw)) - j2(Q(jw)) = n p - [(n - l) p - l p] = l 2p ,
что и требовалось доказать.
|
.png)